Question

（2012•邯鄲一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（x，y）為動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)A(

2

，0)，B(-

2

，0)，直線PA與PB的斜率之積為-

1

2

．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P軌跡E的方程；
（ II）過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（M、Q不重合），求證：直線MQ過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（I）利用直線PA與PB的斜率之積為-

1

2

，建立等式，化簡(jiǎn)，即可求得求動(dòng)點(diǎn)P軌跡E的方程；
（II）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，求得直線方程，令y=0，即可證得結(jié)論．

解答：（I）解：由題知：

y

x+ 2

•

y

x- 2

=-

1

2

…（2分）
化簡(jiǎn)得：

x2

2

+y2=1(y≠0)…（4分）
（II）證明一：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：x=my+1，
代入

x2

2

+y2=1(y≠0)整理得（m²+2）y²+2my-1=0…（6分）
∴y1+y2=

-2m

m2+2

，y1y2=

-1

m2+2

，…（8分）
∵M(jìn)Q的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=my1+1+

my1(y2-y1)

y1+y2

=

2my1y2

y1+y2

+1=2…（10分）
∴直線MQ過(guò)定點(diǎn)（2，0）．…（12分）
證明二：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入

x2

2

+y2=1(y≠0)整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

，…（8分）
∵M(jìn)Q的方程為y-y1=

y1+y2

x1-x2

(x-x1)
令y=0，得x=x1+

y1(x2-x1)

y1+y2

=x1+

k(x1-1)(x2-x1)

k(x1+x2-2)

=

2x1x2-(x1+x2)

x1+x2-2

=2…（10分）
∴直線MQ過(guò)定點(diǎn)（2，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．