Question

14．已知函數(shù)f（x）=x+1-e^ax（a∈R）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)$x∈[\frac{1}{a}，\frac{2}{a}]$時(shí)，$f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，求a的取值范圍；
（3）證明：?t∈[-1，1]，使得f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）求解f'（x）=1-ae^ax，分類(lèi)討論判斷單調(diào)性．
（2）利用因?yàn)?f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，所以$f（\frac{2}{a}）$是f（x）的最小值，利用導(dǎo)數(shù)討論得出f（x）增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，減區(qū)間$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$，利用最值得出以$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜\frac{2}{a}\\ f（\frac{1}{a}）≥f（\frac{2}{a}）\end{array}\right.$．
（3）分類(lèi)討論根據(jù)單調(diào)性得出最小值，①當(dāng)a≤0時(shí)，f（-1）＜f（0）=0成立；當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（-1）＜f（0）=0成立；當(dāng)a＞1時(shí)，f（1）＜f（0）=0成立；判斷存在問(wèn)題的成立．

解答 解：（1）f'（x）=1-ae^ax
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）=1-ae^ax＞0，所以f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）
②當(dāng)a＞0時(shí)，f'（x）=1-ae^ax＞0，解得$x＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}$，f（x）的增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，減區(qū)間$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$
（2）因?yàn)?f（x）≥f（\frac{2}{a}）$，所以$f（\frac{2}{a}）$是f（x）的最小值，由題意a＞0，
由（1）f（x）增區(qū)間為$（-∞，\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}）$，減區(qū)間$（\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}，+∞）$
所以$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≤\frac{1}{a}$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}＜\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜\frac{2}{a}\\ f（\frac{1}{a}）≥f（\frac{2}{a}）\end{array}\right.$，解得$a≥\frac{1}{{{e^2}-e}}$
（3）因?yàn)閒（0）=0
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R單調(diào)遞增，所以存在t=-1，f（-1）＜f（0）=0成立；
②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}≥0$f（x）在[-1，0]上遞增，所以存在t=-1，f（-1）＜f（0）=0成立；
③當(dāng)a＞1時(shí)，$\frac{1}{a}ln\frac{1}{a}＜0$，f（x）在[0，1]上遞減，所以存在t=1，f（1）＜f（0）=0成立；
綜上，總存在t∈[-1，1]，使得f（t）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，學(xué)生的綜合分析問(wèn)題的能力，解決問(wèn)題的能力，屬于綜合題目．