Question

20．已知命題p：函數(shù)y=${log_{\frac{1}{2}}}（{{x^2}+2x+a}）$的值域R，命題q：函數(shù)y=x^2a-5在（0，+∞）上是減函數(shù)．若p∧?q為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p∧?q為真命題，則p真q假，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 （本小題滿(mǎn)分12分）
解：對(duì)于命題p：因其定義域?yàn)镽，故x²+2x+a＞0恒成立，
所以△=4-4a＜0，
∴a＞1．                …（3分）
對(duì)于命題q：因其在（0，+∞）上是減函數(shù)，故2a-5＜0，
則a＜$\frac{5}{2}$．   …（6分）
∵p∧?q為真命題，
∴p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}a＞1\\ a≥\frac{5}{2}\end{array}\right.$，則$a≥\frac{5}{2}$，…（10分）
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[$\frac{5}{2}$，+∞）．                …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了復(fù)合命題，函數(shù)恒成立問(wèn)題，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難度中檔．