Question

【挑戰(zhàn)自我】
如圖，已知PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC＝1∶1∶.
（1）求二面角D－PB－C的正切值；
（2）當(dāng)AD∶BC的值是多少時(shí)，能使平面PAB⊥平面PBC？證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）∴二面角D－PB－C的正切值為
（2）∴當(dāng)平面PAB⊥平面PBC時(shí)，

：（1）如圖，取PC中點(diǎn)E，連DE.∵PD＝DC，∴DE⊥PC.又∵BC⊥DC，BC⊥PD，　∴BC⊥平面PDC，則面BPC⊥面PDC，∴DE⊥面PBC.過(guò)E作EF⊥PB于F，連DF，則由三垂線定理有DF⊥PB.∴∠DFE＝θ為二面角D－PB－C的平面角.
設(shè)PD＝DC＝1，則BC＝，DE＝，PC＝.又∵在Rt△DEF中，tanθ=
∴二面角D－PB－C的正切值為
（2）AD∶BC＝1∶2時(shí)，平面PAB⊥平面PBC.
設(shè)PD＝1，時(shí)，平面PAB⊥平面PBC，則DC＝1，BC＝PC＝，AD＝x.
過(guò)A作AG⊥PB于G點(diǎn)，∵平面PAB⊥平面PBC，∴AG⊥面PBC，又∵DE⊥面PBC（已證），∴AG∥DE，而AD∥BC，∴AD∥面PBC，故AD∥GE，進(jìn)而有GE∥BC，又E為PC中點(diǎn)，∴G為PB中點(diǎn)，故GE＝.
即　.
∴當(dāng)平面PAB⊥平面PBC時(shí)，