Question

14．如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，半圓O以BC為直徑，平面ABCD垂直于半圓O所在的平面，P為半圓周上任意一點(diǎn)（與B、C不重合）．
（1）求證：平面PAC⊥平面PAB；
（2）若P為半圓周中點(diǎn)，求此時(shí)二面角P-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明PC⊥面PAB即可證明平面PAC⊥平面PAB；
（2）連接OP，作OE垂直BC，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系如圖：求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可二面角P-AC-D的余弦值．

解答 證明：（1）∵半圓O以BC為直徑，
∴PC⊥PB，
∵平面ABCD垂直于半圓O所在的平面，ABCD是矩形，
∴AB⊥底面BPC，則AB⊥PC，
∵AB∩BP=B，
∴PC⊥面PAB，
∵PC?平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PAB，
（2）連接OP，作OE垂直BC，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP，OE，OC分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：
則P（1，0，0），C（0，1，0），D（0，1，1），A（0，-1，1）
$\overrightarrow{PA}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{PC}$=（-1，1，0），
則平面ACD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
設(shè)$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面PAC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=-x-y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=-x+y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=1，z=2，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+1+4}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∵二面角P-AC-D是鈍二面角，
∴二面角P-AC-D的余弦值是-$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間面面垂直的判斷以及空間二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法．