Question

【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)，(2)，(3)，(4)為最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮.現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形.
（1）求出f(5)的值.
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n+1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式.

Answer 1

【答案】
（1）f(5)=41.

（2）因為f(2)-f(1)=4=4×1，

f(3)-f(2)=8=4×2，

f(4)-f(3)=12=4×3，

f(5)-f(4)=16=4×4，

…

由上式規(guī)律，所以得出f(n+1)-f(n)=4n.

因為f(n+1)-f(n)=4nf(n+1)=f(n)+4n

f(n)=f(n-1)+4(n-1)

=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)

=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)

=…

=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4

=2n2-2n+1.

【解析】找出第n+1項和第n項之間的關(guān)系，再利用數(shù)列中由遞推數(shù)列推導(dǎo)通項數(shù)列的方法求f(n)