設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線:相切,求橢圓的方程;
(3)在(2)的條件下,過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,說明理由.
(1);(2);(3)
【解析】(1)設(shè)Q(x0,0),由(c,0),A(0,b),知
,由 ,可知為中點(diǎn).
從而得到,,進(jìn)一步計(jì)算可求出記心率的值.
(2)由⑴知,可求出△AQF的外接圓圓心為(-,0),半徑r=|FQ|=,
所以再利用圓心到直線l的距離等于半徑a,可得到關(guān)于a的方程解出a值,從而得到橢圓C的方程.
(3) 設(shè),平行四邊形是菱形可轉(zhuǎn)化為, ,
所以,則,然后直線MN與橢圓方程聯(lián)立,消y,再借助韋達(dá)定理來解決即可.
解:(1)設(shè)Q(x0,0),由(c,0),A(0,b)
知
,
由于 即為中點(diǎn).
故,
故橢圓的離心率 (4 分)
(2)由⑴知得于是(,0) Q,
△AQF的外接圓圓心為(-,0),半徑r=|FQ|=
所以,解得=2,∴c =1,b=,
所求橢圓方程為 (8 分)
(3)由(Ⅱ)知 :
代入得
設(shè),
則, (10分)
由于菱形對(duì)角線垂直,則
故
則
(12分)
由已知條件知且
故存在滿足題意的點(diǎn)P且的取值范圍是. (13分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
F1F2 |
F2Q |
0 |
1 |
2 |
1 |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江高三上期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本題滿分12分)設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,上頂點(diǎn)為,過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn),且.
(1)求橢圓的離心率; (2)若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線:相切,
求橢圓的方程;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012屆山西省第一學(xué)期高三12月月考文科數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別是,下頂點(diǎn)為,線段的中點(diǎn)為(為坐標(biāo)原點(diǎn)),如圖.若拋物線:與軸的交點(diǎn)為,且經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè),為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2010-2011學(xué)年重慶市主城八區(qū)高三第二次學(xué)業(yè)調(diào)研抽測(cè)文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
設(shè)橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、,上頂點(diǎn)為,在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn),滿足,且⊥.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)若過、、三點(diǎn)的圓恰好與直線相切,求橢圓的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),
若點(diǎn)使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形,求的取值范圍.
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