設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上,對(duì)于任意實(shí)數(shù)m、n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1.
(1)求證:f(0)=1,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(2)設(shè)集合A={(x,y)|f(x2)?f(y2)>f(1)},B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=∅,求a的取值范圍.
分析:(1)令m=1,n=0,可求得f(1)=f(1)•f(0),依題意,當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1即可證得f(0)=1,再令m=x,n=-x,結(jié)合當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1即可證得當(dāng)x<0時(shí),f(x)>1;
(2)先利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)遞減的,再理清集合A與集合B表示的點(diǎn)集,最后由A∩B=∅,利用圖形間的幾何意義可求a的取值范圍.
解答:解:(1)令m=1,n=0,得f(1)=f(1)•f(0)
又當(dāng)x>0時(shí),0<f(x)<1,所以f(0)=1
設(shè)x<0,則-x>0
令m=x,n=-x,則f(0)=f(x)•f(-x)
所以f(x)•f(-x)=1
又0<f(-x)<1,所以f(x)=
1
f(-x)
>1
(2)設(shè)x1、x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0
所以0<f(x2-x1)<1,從而f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)•f(x1),
又由已知條件及(1)的結(jié)論知f(x)>0恒成立
所以
f(x2)
f(x1)
=f(x2-x1),所以0<
f(x2)
f(x1)
<1,
所以f(x2)<f(x1),故f(x)在R上是單調(diào)遞減的.
由f(x2)•f(y2)>f(1)得:f(x2+y2)>f(1),
因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞減,所以x2+y2<1,即A表示圓x2+y2=1的內(nèi)部,
由f(ax-y+2)=1=f(0)得:ax-y+2=0
所以B表示直線ax-y+2=0,
所以A∩B=∅,所以直線與圓相切或相離,即
2
1+a2
≥1
解得:-
3
≤a≤
3
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用,突出考查函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷及集合A與集合B表示的點(diǎn)集的幾何意義,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力,屬于難題.
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1
x
,g(x)=f(x)+f′(x).
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(Ⅱ)討論g(x)與g(
1
x
)
的大小關(guān)系;
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1
x
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