Question

已知函數(shù)f（x），對任意x∈R，有f（x-2）=

1

2

f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=1-（x-1）²．
①若函數(shù)g（x）=lnx，則函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的區(qū)間（0，4]上有3個零點；
②若函數(shù)g（x）=

f(x)，0≤x≤4 |2x-1|，x＜0

，函數(shù)h（x）=g（x）+ax有2個零點，則a＞0或a＜-

2

3

；
③若函數(shù)h（x）=f（x）-a在區(qū)間（-2，4）有4個零點，則a范圍是（

1

2

，1）；
④若函數(shù)g（x）=

f(x)

x

-a有3個零點，則a的范圍是（

-3+2 2

2

，

-5+ 23

4

）∪（0，12-8

2

）；
以上正確的命題有

 

（寫出所有正確的序號）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用

專題：計算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：作出y=lnx和y=f（x）（0＜x＜4）的圖象，觀察有3個交點，即可判斷①；
畫出y=f（x）（0≤x≤4）和y=|2^x-1|（x＜0）的圖象，以及直線y=-ax，討論a＞0的交點情況，即可判斷②；
畫出y=a和y=f（x）在（-2，4）的圖象，通過圖象觀察得到4個零點時a的范圍，即可判斷③；
畫出y=f（x）和直線y=ax的圖象，通過圖象觀察，當x＞0時，由于f（x）不存在最大值，故不可能有三個交點即可判斷④．

解答： 解：對于①，當2＜x≤4時，0＜x-2≤2，
f（x-2）=1-（x-3）²=

1

2

f（x），
則f（x）=2[1-（x-3）²]（2＜x≤4）
作出y=lnx和y=f（x）（0＜x＜4）的圖象，
觀察有3個交點，故①對；
對于②，畫出y=f（x）（0≤x≤4）
和y=|2^x-1|（x＜0）的圖象，以及直線y=-ax，
當a＞0時，-a＜0，當直線與y=|2^x-1|的圖象相切時，只有一個零點，故②錯；
對于③，令-2＜x＜0，則0＜x+2＜2，
則f（x+2）=1-（x+1）²=2f（x），
則有f（x）=

1

2

[1-（x+1）²]，
（-2＜x＜0），畫出y=a和y=f（x）在
（-2，4）的圖象，由圖象觀察，
得

1

2

＜a＜1時，有4個交點即4個零點，
故③對；
對于④，畫出y=f（x）和直線y=ax的圖象，通過圖象觀察，當x＞0時，由于f（x）不存在最大值，故不可能有三個交點，故④錯．
故答案為：①③

點評：本題考查函數(shù)的零點問題，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查判斷能力，屬于中檔題．