Question

【題目】已知a為正的常數(shù)，函數(shù)f（x）=|ax﹣x2|+lnx．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設g（x）= ，求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（e≈2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】
（1）解：a=2時，f（x）=|ax﹣x2|+lnx= ，

當0＜x＜2時，f′（x）= ，

令f′（x）＞0時，解得0＜x≤ ，

當x≥2時，f′（x）= ，

令f′（x）＞0時，解得x≥2，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（0， ]，[2，+∞）

（2）解：g（x）=|x﹣a|+ = ，

當a≥e時，則g（x）=a﹣x+ ，g′（x）=﹣1﹣ + = ，

令h（x）=﹣x2+1﹣lnx，則h′（x）=﹣2x﹣ ＜0

∴h（x）在[1，e]上為減函數(shù)，則h（x）≤h（1）=0．

∴g（x）在[1，e]上為減函數(shù)，得g（x）min=g（e）=a﹣e+ ；

當a≤1時，∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1﹣lnx≥0，x2+1﹣lnx≥0，∴g′（x）＞0．

∴g（x）在[1，e]上為增函數(shù)，

∴g（x）min=g（1）=1﹣a．

當1＜a＜e時，g（x）在[1，a]上減，[a，e]上增，

g（x）min=g（a）=

綜上所述：

【解析】（1）把a=2代入函數(shù)解析式，由絕對值內(nèi)的代數(shù)式等于0求得x的值，由解得的x的值把定義域分段，去絕對值后求導，利用導函數(shù)求每一段內(nèi)的函數(shù)的增區(qū)間，則a=2時的函數(shù)的增區(qū)間可求；（2）把f（x）的解析式代入g（x）= ，利用a與1和e的大小比較去絕對值，然后求出去絕對值后的函數(shù)的導函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間[1，e]上的最小值．最后把求得的函數(shù)的最小值寫成分段函數(shù)的形式即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．