【題目】已知函數(shù)

(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求(x)在x∈[1,e2]時(shí)的最值(參考數(shù)據(jù):e2≈7.4);

(Ⅱ)若,有f(x)+g(x)≤0恒成立,求實(shí)數(shù)a的值;

【答案】(Ⅰ)f(x)max=2ln2,;(Ⅱ)a=1.

【解析】試題分析:

(1)利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最大值為f(x)max=f(2)=2ln2;

(2)構(gòu)造新函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)=alnx-x+1,利用函數(shù)的特征分類討論可得a=1.

試題解析:

(Ⅰ)由于,∴

因此,函數(shù)f(x)在[1,2]為增函數(shù),在[2,e2]為減函數(shù).

所以f(x)max=f(2)=2ln2.

(Ⅱ)令h(x)=f(x)+g(x)=alnx-x+1,則,

(1)當(dāng)a≤0時(shí),h(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),而h(1)=0,

∴h(x)≤0在區(qū)間x∈(0,+∞)上不可能恒成立,因此a≤0不滿足條件.

(2)當(dāng)a>0時(shí),h(x)在(0,a)上遞增,在(a,+∞)上遞減,所以

h(x)max=h(a)=alna-a+1.

由于h(x)≤0在x∈(0,+∞)恒成立,則h(x)max≤0.即alna-a+1≤0.

令g(a)=alna-a+1,(a>0),則g'(a)=lna,∴g(a)在(0,1)上遞減,在(1,+∞)上遞增,∴g(a)min=g(1)=0,故a=1.

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(Ⅰ)求證:a=2b;

(Ⅱ)PQ是圓C:(x-2)2+(y-1)2=5的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過P,Q兩點(diǎn),求橢圓E的方程.

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(1) 判斷是不是數(shù)列{an}中的一項(xiàng);

(2) 試判斷數(shù)列{an}中的項(xiàng)是否都在區(qū)間(0,1)內(nèi);

(3) 在區(qū)間內(nèi)有無數(shù)列{an}中的項(xiàng)?若有,是第幾項(xiàng)?若沒有,請(qǐng)說明理由.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中,曲線過點(diǎn),其參數(shù)方程為為參數(shù), ),以為極點(diǎn), 軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;

(2)已知曲線與曲線交于兩點(diǎn),且,求實(shí)數(shù)的值.

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【題目】已知函數(shù)f(x) 為奇函數(shù).

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(2)證明:函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上是減函數(shù);

(3)解關(guān)于x的不等式f(1x2)f(x22x4)0.

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x

[11,13)

[13,15)

[15,17)

[17,19)

[19,21)

[21,23)

頻數(shù)

2

12

34

38

10

4

(Ⅰ)作出樣本的頻率分布直方圖,并估計(jì)該技術(shù)指標(biāo)值x的平均數(shù)和眾數(shù);

(Ⅱ)若x<13或x≥21,則該產(chǎn)品不合格.現(xiàn)從不合格的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中技術(shù)指標(biāo)值小于13的產(chǎn)品恰有一件的概率.

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(2)當(dāng)θ∈(0,π)時(shí),求曲線C1和曲線C2公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo).

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