Question

2．已知點(diǎn)P為線段y=2x，x∈[2，4]上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C：（x-3）²+（y+2）²=1上一動(dòng)點(diǎn)，則線段|PQ|的最小值為$\sqrt{37}$-1．

Answer 1

分析 用參數(shù)法，設(shè)出點(diǎn)P（x，2x），x∈[2，4]，求出點(diǎn)P到圓心C的距離|PC|，計(jì)算|PC|的最小值即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（x，2x），x∈[2，4]，
則點(diǎn)P到圓C：（x-3）²+（y+2）²=1的圓心距離是：
|PC|=$\sqrt{（x-3）^{2}+（2x+2）^{2}}$=$\sqrt{5{x}^{2}+2x+13}$，
設(shè)f（x）=5x²+2x+13，x∈[2，4]，
則f（x）是單調(diào)增函數(shù)，且f（x）≥f（2）=37，
所以|PC|≥$\sqrt{37}$，
所以線段|PQ|的最小值為$\sqrt{37}$-1．
故答案為：$\sqrt{37}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式與應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，是基礎(chǔ)題目．