如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為圓心,單位長(zhǎng)度1為半徑的圓上有兩點(diǎn)A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ).(0<α<β<π)
(1)試用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量
OA
OB
的夾角β-α的余弦值;
(2)計(jì)算cos15°的值;
(3)若K
OA
+
OB
OA
-K
OB
的長(zhǎng)度相等(其中K為非零實(shí)數(shù)),求β-α的值.
分析:(1)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則表示即可;
(2)將15°變形為45°-30°,利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求出值;
(3)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則,根據(jù)已知長(zhǎng)度相等列出關(guān)系式,即可求出β-α的度數(shù).
解答:解:(1)∵
OA
=(cosα,sinα),
OB
=(cosβ,sinβ),
OA
OB
=|
OA
|•|
OB
|•cos(β-α)=cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(2)cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=
6
+
2
4
;
(3)根據(jù)題意得:(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2,
整理得:4kcos(β-α)=0,
∵k≠0,∴cos(β-α)=0,
∵0<α<β<π,
∴0<β-α<π,
∴α-β=
π
2
點(diǎn)評(píng):此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式,平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,以及特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在△OAB中,點(diǎn)P是線段OB及線段AB延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域(含邊界)的任意一點(diǎn),且
OP
=x
OA
+y
OB
則在直角坐標(biāo)平面內(nèi),實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)所示的區(qū)域在直線y=4的下側(cè)部分的面積是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

1、如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為a,中心在原點(diǎn)O的正六邊形ABCDEF,AB∥Ox.直線L:y=kx+t(k為常數(shù))與正六邊形交于M、N兩點(diǎn),記△OMN的面積為S,則函數(shù)S=f(t)的奇偶性為
偶函數(shù)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為a、中心在原點(diǎn)O的正六邊形ABCDEF,AB∥Ox.直線L:y=kx+t(k為常數(shù))與正六邊形交于M、N兩點(diǎn),記△OMN的面積為S,則函數(shù)S=f(t)的奇偶性為( 。
A、偶函數(shù)B、奇函數(shù)C、不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)D、奇偶性與k有關(guān)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2008•海珠區(qū)一模)如圖,在直角坐標(biāo)平面內(nèi),射線OT落在60°的終邊上,任作一條射線OA,OA落在∠xOT內(nèi)的概率是
1
6
1
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,一定長(zhǎng)m的線段,其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),設(shè)點(diǎn)M滿足(λ是大于0,且不等于1的常數(shù)).

試問:是否存在定點(diǎn)E、F,使|ME|、|MB|、|MF|成等差數(shù)列?若存在,求出E、F的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

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