Question

已知函數(shù)y=2sin（

π

3

-4x）．
（Ⅰ）求函數(shù)的周期及單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)的最大值及最小值并寫出取最值時(shí)自變量x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用誘導(dǎo)公式化數(shù)y=2sin（

π

3

-4x）為y=-2sin(4x-

π

3

)，然后直接利用周期公式求周期，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的單調(diào)區(qū)間直接得到函數(shù)的最值及取得最值時(shí)的x的集合．

解答： （Ⅰ）函數(shù)y=2sin(

π

3

-4x)=-2sin(4x-

π

3

)
則周期T=

2π

4

=

π

2

．
2sin(4x-

π

3

)的單調(diào)遞增區(qū)間即原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．
由-

π

2

+2kπ≤4x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，
解得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-

π

24

+

kπ

2

，

5π

24

+

kπ

2

]k∈Z．
由

π

2

+2kπ≤4x-

π

3

≤

3

2

π+2kπ，
解得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[

5π

24

+

kπ

2

，

11π

24

+

kπ

2

]k∈Z；
（Ⅱ）由于函數(shù)在[-

π

24

+

kπ

2

，

5π

24

+

kπ

2

]k∈Z單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈{x|x=-

π

24

+

kπ

2

，k∈Z}時(shí)函數(shù)取得最大值為2．
當(dāng)x∈{x|x=

5π

24

+

kπ

2

，k∈Z}時(shí)函數(shù)取得最小值為-2．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的周期性及求法，考查了與三角函數(shù)有關(guān)的符合函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)的最值，是基礎(chǔ)題．