Question

設(shè)等差數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n；
（2）若a_n=lg（1+

1

bn

），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與

1

2

lgb_n+1的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由10+

10×9

2

d=100，得d=2，由此能求出b_n=2n-1．
（2）由a_n=lg（1+

1

bn

）=lg（1+

1

2n-1

），得S_n=lg[（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）]，?

1

2

lgb_n+1=lg

2n+1

．?因此要比較S_n與

1

2

lgb_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）與

2n+1

的大小．由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明S_n＞

1

2

lgb_n+1．

解答： 解：（1）∵等差數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100，
∴10+

10×9

2

d=100，解得d=2，
∴b_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）a_n=lg（1+

1

bn

）=lg（1+

1

2n-1

），
∴S_n=lg（1+1）+lg（1+

1

3

）+…+lg（1+

1

2n-1

）
=lg[（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）]，?

1

2

lgb_n+1=lg

2n+1

．?
因此要比較S_n與

1

2

lgb_n+1的大小，可先比較（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）與

2n+1

的大�。�?
取n=1有（1+1）＞

2+1

，取n=2有（1+1）（1+

1

3

）＞

4+1

，…
由此推測(cè)（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2n-1

）＞

2n+1

．①
若①式成立，則由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可斷定：S_n＞

1

2

lgb_n+1．?
 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．?
（i）當(dāng)n=1時(shí)已驗(yàn)證①式成立．?
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，①式成立，即（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）＞

2k+1

．?
那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2(k+1)+1

）＞

2k+1

（1+

1

2k+1

）
=

2k+1

2k+1

（2k+2），?
∵[

2k+1

2k+1

（2k+2）]²-（

2k+3

）²=

4k2+8k+4-(4k2+8k+3)

2k+1

=

1

2k+1

＞0
∴

2k+1

2k+1

（2k+2）＞

2k+3

=

2(k+1)+1

．
因而（1+1）（1+

1

3

）…（1+

1

2k-1

）（1+

1

2k+1

）＞

2(k+1)+1

．?
這就是說(shuō)①式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．?
由（i），（ii）知①式對(duì)任何正整數(shù)n都成立．?
由此證得：S_n＞

1

2

lgb_n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．