Question

12．記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2ⁿ+λ．
（1）若λ=3時(shí)，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得{a_n}為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把λ=3代入數(shù)列的前n項(xiàng)和，求出首項(xiàng)，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，驗(yàn)證后得答案；
（2）由數(shù)列的前n項(xiàng)和求得首項(xiàng)，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，由首項(xiàng)適合該通項(xiàng)公式即可求得λ的值．

解答 解：（1）當(dāng)λ=3時(shí)，S_n=2ⁿ+3，
∴a₁=S₁=5；當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}+3-{2}^{n-1}-3={2}^{n-1}$．
a₁=5對(duì)上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由S_n=2ⁿ+λ，得a₁=S₁=2+λ；
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}+λ-{2}^{n-1}-λ={2}^{n-1}$．
若存在常數(shù)λ，使得{a_n}為等比數(shù)列，則2+λ=2⁰=1，得λ=-1．
故存在實(shí)數(shù)λ=-1，使得{a_n}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．