Question

函數(shù)f（x）=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx，（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B、C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）將f（x）的圖象上每個點的橫坐標縮小為原來的

π

4

倍（縱坐標不變），再向右平移

π

3

個單位得到函數(shù)g（x），若設g（x）圖象在y軸右側第一個最高點為P，試問g（x）圖象上是否存在點Q（θ，g（θ））（π＜θ＜2π），使得OP⊥OQ，若存在請求出滿足條件的點Q的個數(shù)，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=2

3

sin(ωx+

π

3

)，由|BC|=4可求得ω=

π

4

，從而確定函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）由OP⊥OQ得

π

2

θ+2

3

•2

3

sinθ=0，即πθ+24sinθ=0（π＜θ＜2π），問題轉化為研討函數(shù)h（x）=πx+24sinx（π＜x＜2π）零點個數(shù)，根據(jù)零點判定定理即可求得．

解答： 解：（1）由已知得：f(x)=2

3

sin

ωx

2

•cos

ωx

2

+3cosωx=

3

sinωx+3cosωx
=2

3

sin(ωx+

π

3

)
∵A為圖象的最高點，∴A的縱坐標為2

3

又∵△ABC為正三角形，所以|BC|=4
∴

T

2

=4可得T=8即

2π

ω

=8得ω=

π

4

∴f(x)=2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)
（2）由題意可得g(x)=2

3

sinx，P(

π

2

，2

3

)
法一：作出如右圖象，由圖象可知滿足條件的點Q是存在的，而且有兩個

注：以上方法雖然能夠得到答案，但其理由可信度不高，故無法給滿分．
法二：由OP⊥OQ得

π

2

θ+2

3

•2

3

sinθ=0，即πθ=-24sinθ（π＜θ＜2π），
由此作出函數(shù)y=πx（π＜x＜2π）及y=-24sinx（π＜x＜2π）圖象，由圖象可知滿足條件的Q點有兩個．

注：數(shù)形結合是我們解題中常用的方法，但就其嚴密性而言，仍有欠缺和不足．
法三：由OP⊥OQ得

π

2

θ+2

3

•2

3

sinθ=0，即πθ+24sinθ=0（π＜θ＜2π），問題轉化為研討函數(shù)h（x）=πx+24sinx（π＜x＜2π）零點個數(shù)．
∵h'（x）=π+24cosx，h''（x）=-24sinx
當π＜x＜2π時，h''（x）＞0恒成立，從而說明函數(shù)h'（x）在（π，2π）中是單調遞增函數(shù)，
又h'（π）＜0，h'（2π）＞0故存在θ₀∈（π，2π），使得h'（θ₀）=0，
從而函數(shù)h（x）在區(qū)間（π，θ₀）單調遞減，在區(qū)間（θ₀，2π）單調遞增，
又h(π)＞0，h(2π)＞0，h(

3

2

π)＜0，由零點存在定理得函數(shù)h（x）在區(qū)間(π，

3π

2

)和區(qū)間(

3π

2

，2π)上各有一個零點．
注：該方法解題嚴密，但對學生數(shù)學素養(yǎng)要求較高．本題還有其他不少做法，大家可以再去研討．

點評：本題主要考察了三角函數(shù)中的恒等變換應用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考察了數(shù)形結合，屬于中檔題．