Question

【題目】如圖所示，底面ABC為正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，設(shè)F為EB的中點(diǎn)．

(1)求證：DF∥平面ABC；

(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】試題分析：（1）過點(diǎn)F作FH∥EA交AB于點(diǎn)H，根據(jù)平幾知識可得CDFH是平行四邊形，即得DF∥CH，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)正三角形性質(zhì)得CH⊥AB，再根據(jù)線面垂直判定定理得CH⊥平面AEB，即得DF⊥平面AEB，從而∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角．最后解直角三角形得直線AD與平面AEB所成角的正弦值．

試題解析：(1)證明　如圖，過點(diǎn)F作FH∥EA交AB于點(diǎn)H，連接HC.

∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，

∴EA∥DC.

又FH∥EA，

∴FH∥DC.

∵F是EB的中點(diǎn)，

∴FH＝AE＝DC.

∴四邊形CDFH是平行四邊形，

∴DF∥CH.

又CH平面ABC，DF平面ABC，

∴DF∥平面ABC.

(2)解　∵△ABC為正三角形，H為AB的中點(diǎn)，∴CH⊥AB.

∵EA⊥平面ABC，CH平面ABC，

∴CH⊥EA.

又EA∩AB＝A，EA平面AEB，

AB平面AEB，

∴CH⊥平面AEB.

∵DF∥CH，

∴DF⊥平面AEB，

∴AF為DA在平面AEB上的投影，

∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角．

在Rt△AFD中，AD＝a，DF＝a，sin∠DAF＝＝，

∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為.