Question

3．已知集合A={x|x=a₀+a₁×2+a₂×2²+a₃×2³}，其中a_i∈{0，1，2}（i=0，1，2，3），且a₀≠0，則A中所有元素之和等于837．

Answer 1

分析 由題意可知a₃，a₁，a₂各有3種取法（均可取0，1，2），a₀有2種取法，利用數(shù)列求和即可求得A中所有元素之和．

解答 解：由題意可知，a₃，a₁，a₂各有3種取法（均可取0，1，2），a₀有2種取法，
由分步計(jì)數(shù)原理可得共有3×3×3×2種方法
∴當(dāng)a₀取1，2時(shí)，a₁，a₂，a₃各有3種取法，共有3×3×3=27種方法，
即集合A中含有a₀項(xiàng)的所有數(shù)的和為（1+2）×27=81；
同理可得集合A中含有a₁項(xiàng)的所有數(shù)的和為（2×0+2×1+2×2）×18=108；
集合A中含有a₂項(xiàng)的所有數(shù)的和為（2²×0+2²×1+2²×2）×18=216；
集合A中含有a₃項(xiàng)的所有數(shù)的和為（2³×0+2³×1+2³×2）×18=432；
由分類計(jì)數(shù)原理得集合A中所有元素之和：
S=81+108+216+432=837．
故答案為：837．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類討論與轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用，屬于難題．