Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

（x∈R）
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若對(duì)任意的x∈R，都有不等式f（2x）+f（x²-m）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的定義，即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在R上遞增，且為奇函數(shù)，可得x²+2x-m＞0，對(duì)任意的x∈R恒成立，運(yùn)用判別式小于0，即可得到m的范圍．

解答： 解：（1）∵f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在R上遞增，且為奇函數(shù)
∴f（x²-m）＞f（-2x），
∴x²-m＞-2x
即x²+2x-m＞0，對(duì)任意的x∈R恒成立，
則判別式△=4+4m＜0，解得m＜-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及運(yùn)用，考查二次不等式恒成立問題，注意運(yùn)用判別式小于0，屬于中檔題．