Question

5．已知直線l：y=-ex+a與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b≥0）有一個公共點M，e為橢圓的離心率，直線l與x軸和y軸的交點分別為A、B，且$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AB}$．
（Ⅰ）若點A（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）、B（0，2），求橢圓方程；
（II）若e=$\frac{1}{3}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （I）把A，B坐標代入直線方程求出a，e，再根據(jù)a，b，c，e的關系求出b即可得出橢圓方程；
（II）根據(jù)離心率公式，用a表示出b，得出橢圓方程，與直線方程聯(lián)立求出M，A，B的坐標得出$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AB}$的坐標即可求出λ的值．

解答 解：（I）∵A，B是直線l的上的點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{-\frac{4\sqrt{3}}{3}e+a=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{e=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
又$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{c}^{2}={a}^{2}-^{2}}\end{array}\right.$，∴b²=1．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（II）∵e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$，∴c=$\frac{1}{3}$a，∴b²=a²-c²=$\frac{8}{9}$a²．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{9y}^{2}}{8{a}^{2}}=1$．直線l的方程為y=-$\frac{1}{3}$x+a．
∴A（3a，0），B（0，a），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{9{y}^{2}}{8{a}^{2}}=1}\\{y=-\frac{1}{3}x+a}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{a}{3}$，y=$\frac{8}{9}a$．
∴M（$\frac{a}{3}$，$\frac{8a}{9}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{8a}{3}$，$\frac{8a}{9}$），$\overrightarrow{AB}$=（-3a，a），
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{8}{9}$$\overrightarrow{AB}$，即λ=$\frac{8}{9}$．

點評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，屬于中檔題．