Question

函數(shù)f（x）=x²+ax+3，x∈[0，2]
（Ⅰ）若a=2，求f（x）的最值，并說明當f（x）取最值時的x的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）當a=2時，函數(shù)f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，由于f （x）的對稱軸為x=-1，f （x）在[0，2]上是增函數(shù)，由此求得f（x）的最值，以及f（x）取最值時的x的值．
（Ⅱ）[法一]：由題意可得 x²+ax+3≥0對于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x²+ax+3的最小值大于或等于零，結合二次函數(shù)f（x）=x²+ax+3的圖象與性質，求得a的取值范圍．
法二：當x=0時，可得a∈R，滿足條件．當x∈（0，2]時，可得a≥-(x+

3

x

)，令 g(x)=-(x+

3

x

)，利用基本不等式求得g（x）的最大值，即可得到a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，函數(shù)f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2，
由于f （x）的對稱軸為x=-1，f （x）在[0，2]上是增函數(shù)，…（1分）
故當x=0時，f（x）_min=f（0）=3；…（3分）
當x=2時，f（x）_max=f（2）=11．…（5分）
（Ⅱ）[法一]：若f（x）≥0恒成立，即x²+ax+3≥0對于x∈[0，2]恒成立，故f（x）=x²+ax+3的最小值大于或等于零．
結合二次函數(shù)f（x）=x²+ax+3的圖象與性質得：△=a²-4×3≤0，或

- a 2 ≤0 f(0)=3≥0

，或

- a 2 ≥2 f(2)=22+2a+3≥0

． …（9分）
解得-2

3

≤a≤2

3

或a≥0或a∈φ，…（11分）
所以a得取值范圍是[-2

3

，+∞)．…（12分）
法二：當x=0時，可得a∈R，當x∈（0，2]時，可得a≥-(x+

3

x

)，令 g(x)=-(x+

3

x

)，由于x+

3

x

≥2

3

，當且僅當x=

3

時，取等號．
故有-（x+

3

x

）≤-2

3

，故 g(x)max=g(

3

)=2

3

，從而，a≥-2

3

．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質，函數(shù)的恒成立問題，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬于中檔題．