Question

18．已知斜率為k（k≠0）的直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1于M，N
（1）記直線OM，ON的斜率分別為k₁，k₂，當(dāng)3（k₁+k₂）=8k時(shí)，求l經(jīng)過的定點(diǎn)；
（2）若直線l過點(diǎn)D（1，0），△OMD與△OND的面積比為t，當(dāng)k²＜$\frac{5}{12}$時(shí)，t的取值范圍是（n₁，n₂），n₁，n₂＞1，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為$\frac{1}{（{n}_{2}）^{n}-0.5{n}_{1}}$，μ_n為其前n項(xiàng)之和，求證：μ_n＜log₃4．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立方程組，直接利用韋達(dá)定理求解；
（2）用k表示面積之比，求出t的范圍，用放縮法求出數(shù)列之和即可得證．

解答 解：（1）依題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+n，其中k≠0．
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²+8knx+4n²-4=0，
則有x₁+x₂=$-\frac{8kn}{1+4{k}^{2}}$．        x₁•x₂=$\frac{4{n}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$…（2分）
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{{x}_{2}（k{x}_{1}+n）+{x}_{1}（k{x}_{2}+n）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}+n（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}\\;\\;\\;=-\frac{8k}{4{n}^{2}-4}$=$\frac{8k}{4{n}^{2}-4}$-．…（5分）
由條件有-$\frac{24k}{4{n}^{2}-4}=8k$，而k≠0，則有n=±$\frac{1}{2}$，
從而直線l過定點(diǎn)（0，$\frac{1}{2}$）或（0，-$\frac{1}{2}$）．…（8分）
（2）證明：依題意可設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），其中k≠0．
代入橢圓方程得：（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
則有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$．…x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$
從而有y₁+y₂=k（x₁+x₂）=$\frac{2k}{1+4{k}^{2}}$-…①
y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=$-\frac{3{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$…②
由①②得$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1{y}_{2}}}=-\frac{4}{3（1+4{k}^{2}）}$，…
由$0＜{k}^{2}＜\frac{5}{12}$，得-$\frac{4}{3}＜-\frac{4}{3（1+4{k}^{2}）}＜-\frac{1}{2}$．…
又t=$\frac{{s}_{△0MD}}{{S}_{△OND}}=\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，因y₁y₂＜0，
故t=-$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$，又$\frac{{（y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=\frac{{y}_{1}}{{y}_{3}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}+2=-t-\frac{1}{t}+2$，
從而有$-\frac{4}{3}＜-t-\frac{1}{t}+2＜-\frac{1}{2}$，得$\left\{\begin{array}{l}{3{t}^{2}-10t+3＜0}\\{2{t}^{2}-5t+2＞0}\end{array}\right.$，
解得2＜t＜3或$\frac{1}{3}＜t＜\frac{1}{2}…（舍去）$．…（13分）
∴數(shù)列$\frac{1}{（{n}_{2}）^{n}-0.5{n}_{1}}$的通項(xiàng)公式為${a}_{n}=\frac{1}{{3}^{n}-1}$，
∵3ⁿ-1=3•3^n-1-1=2•3^n-1+3^n-1-1
∴n≥1時(shí)，${a}_{n}≥\frac{1}{2•{3}^{n-1}}$，
其前n項(xiàng)之和μ_n≤$\frac{1}{2}•\frac{（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{4}$，
∴μ_n＜log₃4得證．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系、解析幾何中的參數(shù)范圍問題、數(shù)列的放縮法，屬于壓軸題．