【題目】已知函數(shù).

      (1)討論的單調(diào)性;

      (2)證明:.

      【答案】(1)當(dāng)時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(2)證明見解析.

      【解析】

      (1)求導(dǎo)后分兩種情況分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)從而求得原函數(shù)的單調(diào)性即可.

      (2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,求得最小值從而得出當(dāng)時,,再構(gòu)造函數(shù)式證明.或構(gòu)造,求導(dǎo)后根據(jù)隱零點的方法證明.

      (1)依題意,的定義域為,

      ,

      當(dāng)時,;當(dāng)時,.

      ①當(dāng)時,若,則;若,則.

      所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

      ②當(dāng)時,若,則;若,則.

      所以上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

      綜上,當(dāng)時,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;

      當(dāng)時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

      (2)法一:由(1)知,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,

      故當(dāng)時,.

      又當(dāng)時,,

      所以當(dāng)時,,故,

      所以.

      (2)法二:令,則,

      ,則為增函數(shù),且

      ,,

      所以有唯一的零點,,

      所以當(dāng)時,,為減函數(shù);當(dāng)時,為增函數(shù).

      所以.

      由(1)知,當(dāng)時,上為減函數(shù),在上為增函數(shù),故

      ,即,

      所以,

      所以,故.

      練習(xí)冊系列答案
      相關(guān)習(xí)題

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】如圖,在三棱柱中,底面是邊長為4的等邊三角形,,的中點.

      1)證明:平面.

      2)若是等邊三角形,求二面角的正弦值.

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】若函數(shù)為常數(shù),)的圖象關(guān)于直線對稱,則函數(shù)的圖象( 。

      A. 關(guān)于直線對稱B. 關(guān)于直線對稱

      C. 關(guān)于點對稱D. 關(guān)于點對稱

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】已知兩定點,點是平面內(nèi)的動點,且,記的軌跡是

      (1)求曲線的方程;

      (2)過點引直線交曲線兩點,設(shè),點關(guān)于軸的對稱點為,證明直線過定點.

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】某紡織廠為了生產(chǎn)一種高端布料,準(zhǔn)備從農(nóng)場購進(jìn)一批優(yōu)質(zhì)棉花,廠方技術(shù)人員從農(nóng)場存儲的優(yōu)質(zhì)棉花中隨機抽取了處棉花,分別測量了其纖維長度(單位:)的均值,收集到個樣本數(shù)據(jù),并制成如下頻數(shù)分布表:

      (1)求這個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和樣本方差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表);

      (2)將收集到的數(shù)據(jù)繪制成直方圖可以認(rèn)為這批棉花的纖維長度服從分布,其中.

      ①利用正態(tài)分布,求;

      ②紡織廠將農(nóng)場送來的這批優(yōu)質(zhì)棉進(jìn)行二次檢驗,從中隨機抽取處測量其纖維均值,數(shù)據(jù)如下:

      個樣本中纖維均值的頻率不低于①中,即可判斷該批優(yōu)質(zhì)棉花合格,否則認(rèn)為農(nóng)場運送是摻雜了次品,判斷該批棉花不合格.按照此依據(jù)判斷農(nóng)場送來的這批棉花是否為合格的優(yōu)質(zhì)棉花,并說明理由.

      附:若,則

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】某林場現(xiàn)有木材存量為,每年以25%的增長率逐年遞增,但每年年底要砍伐的木材量為,經(jīng)過年后林場木材存有量為

      1)求的解析式

      2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量不應(yīng)少于,如果,那么該地區(qū)會發(fā)生水土流失嗎?若會,要經(jīng)過幾年?(取

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】如圖,在四棱錐中,平面, ,,為側(cè)棱上一點.

      (Ⅰ)若,求證:平面;

      (Ⅱ)求證:平面平面

      (Ⅲ)在側(cè)棱上是否存在點,使得平面?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】為了進(jìn)一步推動全市學(xué)習(xí)型黨組織、學(xué)習(xí)型社會建設(shè),某市組織開展“學(xué)習(xí)強國”知識測試,每人測試文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目,每個項目滿分均為60分.從全體測試人員中隨機抽取了100人,分別統(tǒng)計他們文化、經(jīng)濟(jì)兩個項目的測試成績,得到文化項目測試成績的頻數(shù)分布表和經(jīng)濟(jì)項目測試成績的頻率分布直方圖如下:

      經(jīng)濟(jì)項目測試成績頻率分布直方圖

      分?jǐn)?shù)區(qū)間

      頻數(shù)

      2

      3

      5

      15

      40

      35

      文化項目測試成績頻數(shù)分布表

      將測試人員的成績劃分為三個等級如下:分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為一般,分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為良好,分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)為優(yōu)秀.

      (1)在抽取的100人中,經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀的測試人員中女生有14人,經(jīng)濟(jì)項目等級為一般或良好的測試人員中女生有34人.填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有以上的把握認(rèn)為“經(jīng)濟(jì)項目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)?

      優(yōu)秀

      一般或良好

      合計

      男生數(shù)

      女生數(shù)

      合計

      (2)用這100人的樣本估計總體,假設(shè)這兩個項目的測試成績相互獨立.

      (i)從該市測試人員中隨機抽取1人,估計其“文化項目等級高于經(jīng)濟(jì)項目等級”的概率.

      (ii)對該市文化項目、經(jīng)濟(jì)項目的學(xué)習(xí)成績進(jìn)行評價.

      附:

      0.150

      0.050

      0.010

      2.072

      3.841

      6.635

      .

      查看答案和解析>>

      科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

      【題目】如圖所示,在長方體中,,點E是棱上的一個動點,若平面交棱于點,給出下列命題:

      ①四棱錐的體積恒為定值;

      ②存在點,使得平面;

      ③對于棱上任意一點,在棱上均有相應(yīng)的點,使得平面;

      ④存在唯一的點,使得截面四邊形的周長取得最小值.

      其中真命題的是____________.(填寫所有正確答案的序號)

      查看答案和解析>>

      同步練習(xí)冊答案