Question

13．給出下列四種說法：
①函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y=log₁a^x（a＞0，且a≠1）的定義域相同；
②函數(shù)y=x³與y=3^x的值域相同；
③函數(shù)y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$與y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$均是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=（x-1）²與y=2x-1在（0，+∞）上都是增函數(shù)．
其中正確說法的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 ①，∵a^x＞0（a＞0，且a≠1）∴函數(shù)y=log₁a^x（a＞0，且a≠1）的定義域?yàn)镽；
②，函數(shù)y=x³的值域?yàn)镽，y=3^x的值域?yàn)椋?，+∞）；
③，∵函數(shù)y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$與y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$的定義域均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{-x}-1}=0$，$\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}$+$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$=0；
④，函數(shù)y=（x-1）² （1，+∞）上都是增函數(shù)．

解答 解：對(duì)于①，∵a^x＞0（a＞0，且a≠1）∴函數(shù)y=a^x（a＞0，且a≠1）與函數(shù)y=log₁a^x（a＞0，且a≠1）的定義域相同，故正確；
對(duì)于②，函數(shù)y=x³的值域?yàn)镽，y=3^x的值域?yàn)椋?，+∞），故錯(cuò)；
 對(duì)于③，∵函數(shù)y=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$與y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$的定義域均關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{x}-1}$$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{-x}-1}=0$，$\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}$+$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$=0，故均是奇函數(shù)，故正確；
對(duì)于④，函數(shù)y=（x-1）² （1，+∞）上都是增函數(shù)，故錯(cuò)．
故答案：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判定，涉及到了函數(shù)的概念及性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．