Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|-a分別滿足下列條件，求實數(shù)a的取值范圍．
（1）函數(shù)有兩個零點；
（2）函數(shù)有三個零點；
（3）函數(shù)有四個零點．

Answer 1

分析 因為函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|-a的零點個數(shù)不易討論，所以可轉(zhuǎn)化為方程|x²-2x-3|-a=0根的個數(shù)來討論，即轉(zhuǎn)化為方程|x²-2x-3|=a的根的個數(shù)問題，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|與函數(shù)f（x）=a交點個數(shù)問題．

解答 解：函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|-a的零點個數(shù)等價于方程|x²-2x-3|-a=0根的個數(shù)，
即方程|x²-2x-3|=a的根的個數(shù)．
故設f（x）=|x²-2x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-3，x＜-1或x＞3}\\{-{x}^{2}+2x+3，-1≤x≤3}\end{array}\right.$和g（x）=a
分別作出這兩個函數(shù)的圖象（如圖），
它們交點的個數(shù)，即為函數(shù)f（x）=|x²-2x-3|-a的零點個數(shù)．
∴（1）若函數(shù)有兩個零點，則a=0或a＞4．
（2）若函數(shù)有三個零點，則a=4．
（3）函數(shù)有四個零點，則0＜a＜4．

點評 考查根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)確定參數(shù)的范圍問題，含絕對值的二次函數(shù)的作圖問題，主要考查函數(shù)零點的常見處理方法．考查數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，化歸思想．屬于中檔題．