2.在△ABC中,點D為BC邊上一點,且BD=1,E為AC的中點,$AE=\frac{3}{2},cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7},∠ADB=\frac{2π}{3}$.
(1)求sin∠BAD;
(2)求AD及DC的長.

分析 (1)由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB的值,由∠BAD=∠B+∠ADB,利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算得解.
(2)由正弦定理可求AD,得AC=2AE=3,在△ACD中,由余弦定理即可解得DC的值.

解答 (本題滿分為14分)
解:(1)在△ABD中,因為$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7},B∈({0,π})$,
所以$sinB=\sqrt{1-{{cos}^2}B}$,即sinB=$\frac{\sqrt{21}}{7}$,…3分
所以sin∠BAD=sin(∠B+∠ADB),
因為:∠ADB=$\frac{2π}{3}$,
所以:sin∠BAD=$\frac{\sqrt{21}}{7}$×$(-\frac{1}{2})+\frac{2\sqrt{7}}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$…7分
(2)由正弦定理$\frac{AD}{sinB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$,得$AD=\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{{1×\frac{{\sqrt{21}}}{7}}}{{\frac{{\sqrt{21}}}{14}}}=2$…(9分)
依題意得AC=2AE=3,在△ACD中,由余弦定理得:AC2=AD2+DC2-2AD•CDcos∠ADC,
即$9=4+D{C^2}-2×2×CDcos\frac{π}{3}$,
所以DC2-2DC-5=0,解得:$DC=1+\sqrt{6}$(負值舍去).…(14分)

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式,特殊角的三角函數(shù)值及兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦定理,余弦定理在解三角形中的應用,考查了計算能力和轉化思想,屬于中檔題.

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