拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F與雙曲線
x2
3
-
y2
6
=1的右焦點(diǎn)重合，過點(diǎn)P（2，0）且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求弦長(zhǎng)|AB|；   （2）試判斷以弦AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系．
分析：（1）雙曲線右焦點(diǎn)為F（3，0），它也是拋物線的焦點(diǎn)．所以拋物線方程為y2=12x．由直線l的方程為y=x-2，由此能求出弦長(zhǎng)|AB|．
（2）弦中點(diǎn)坐標(biāo)為x中=
x1+x2
2
=
8
 
 
，
 
 
y中=x中-2=6，所以以AB為直徑的圓的圓心為（8，6），半徑r=2
30
，又準(zhǔn)線為x=-3．由此能得到圓與拋物線準(zhǔn)線相離．
解答：解：（1）雙曲線右焦點(diǎn)為F（3，0），
它也是拋物線的焦點(diǎn)．
∴拋物線方程為y2=12x．…（2分）
又直線l的方程為y=x-2，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=x-2
y2=12x
，
得x2-16x+4=0…（4分）
∴弦長(zhǎng)|AB|=
(1+1)(162-4×4)
=4
30
．…（6分）
（2）弦中點(diǎn)坐標(biāo)為x中=
x1+x2
2
=
8
 
 
，
 
 
y中=x中-2=6，…（8分）
∴以AB為直徑的圓的圓心為（8，6），
半徑r=2
30
，
又準(zhǔn)線為x=-3，
∴圓心到準(zhǔn)線的距離d=8+3=11＞2
30
=r，
∴圓與拋物線準(zhǔn)線相離．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）在拋物線C上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P的直線交C于另一點(diǎn)Q，滿足PF⊥QF，且PQ與C在點(diǎn)P處的切線垂直？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為（0，1），點(diǎn)P（0，m）（m≠0）．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為1的直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Q，若m＜0，求使得△QAB面積最大的m的值；
（3）設(shè)過P點(diǎn)的直線交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得
1
|PM|
+
1
|PN|
為定值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（2，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）（m≠0），設(shè)過點(diǎn)P的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)直線l的斜率為1時(shí)，求△QAB的面積關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式．
（2）試問在x軸上是否存在一定點(diǎn)T，使得TA，TB與x軸所成的銳角相等？若存在，求出定點(diǎn)T 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若拋物線C與直線y=x-4相交于不同的兩點(diǎn)A、B，求證：OA⊥OB．

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