Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2處取得極值，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)A、B為函數(shù)y=f（x）圖象上任意相異的兩個(gè)點(diǎn)，試判定直線AB和直線4x+y-3=0的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+mx+6，若對(duì)任意t∈[-2，2]且x∈[-2，2]，f（t）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），依題意f′（0）=0．f′（2）=0，f（1）=0，列方程即可解得a、b、c的值
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可證明函數(shù)f（x）的圖象上任意兩點(diǎn)連線的斜率不可能為-4，即可說(shuō)明兩直線間的位置關(guān)系
（3）先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（t）在[-2，-2]上的單調(diào)性，從而求得函數(shù)f（t）的最大值，將命題轉(zhuǎn)化為g（x）≥2對(duì)x∈[-2，2]恒成立，利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)求得m的范圍

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²+2ax+b，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=0和x=2處取得極值
∴

f′(0)=0 f′(2)=0

即

b=0 3×4+4a+b=0

∴b=0，a=-3
又∵f（1）=0，∴1-3+c=0
故c=2，從而f（x）=x³-3x²+2
（2）直線AB和直線4x+y-3=0總相交．
∵f'（x）=3x²-6x=3（x-1）²-3≥-3，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，直線AB的斜率k≥-3，
而直線4x+y-3=0的斜率為-4，
所以兩條直線相交．
（3）∵f'（x）=3x²-6x=3x（x-2），
∴f（x）在（-2，0]遞增，在（0，2）遞減，
∴f（x）在x=0處有最大值2，
所以命題轉(zhuǎn)化為g（x）≥2對(duì)x∈[-2，2]恒成立，即x²+mx+4≥0對(duì)x∈[-2，2]恒成立，
設(shè)h（x）=x²+mx+4則有

- m 2 ＜-2 h(-2)=-2m+8≥0

或

-2≤- m 2 ≤2 h(- m 2 )=4- m2 4 ≥0

或

- m 2 ＞2 h(2)=2m+8≥0

解得-4≤m≤4．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性、極值、最值中的重要應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式恒成立問(wèn)題的解法