Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x+ax-a，g（x）=2xe^x．
（Ⅰ）討論函數(shù)y=f（x）的單調性；
（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有唯一正整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導數(shù)分類討論單調性；
（2）分離參數(shù)，利用函數(shù)與X軸交點的位置，保證一個正整數(shù)的條件下，求解．

解答 解（Ⅰ）f'（x）=e^x+a
①當a≥0時，f'（x）＞0，所以f（x）在R上單調遞增；
②當a＜0時，由f'（x）=0，得x=ln（-a）．
此時，當x∈（ln（-a），+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（-∞，ln（-a））時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減…（5分）
（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得：a（x-1）＞e^x（2x-1）
當x=1時，不等式顯然不成立，又x為正整數(shù)，
所以x＞1，$a＞\frac{{{e^x}（{2x-1}）}}{x-1}$，…（7分）
記$φ（x）=\frac{{{e^x}（{2x-1}）}}{x-1}$，則$φ'（x）=\frac{{{e^x}x（{2x-3}）}}{{{{（{x-1}）}^2}}}$，
∴φ（x）在區(qū)間$（{1\;\;，\;\;\frac{3}{2}}）$上單調遞減，在區(qū)間$（{\frac{3}{2}\;\;，\;\;+∞}）$上單調遞增，…（10分）
且$φ（{\frac{3}{2}}）=4{e^{\frac{3}{2}}}＜a$，所以$\left\{\begin{array}{l}φ（2）＜a\\ φ（3）≥a\end{array}\right.$，
解得$3{e^2}＜a≤\frac{{5{e^3}}}{2}$，
綜上所述，a的取值范圍為 $（{3{e^2}\;\;，\;\;\frac{{5{e^3}}}{2}}）$．…（12分）

點評 本題考查了含參數(shù)函數(shù)單調性，及已知不等式解的情況求參數(shù)范圍，屬于難題．