【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:過點(diǎn)有三條直線與曲線相切;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(I)詳見解析;(II).
【解析】試題分析:
(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),寫出切線方程,討論方程根的分布可得過點(diǎn)有三條直線與曲線相切;
(2)利用題意構(gòu)造函數(shù),由新函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.
試題解析:解法一:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
設(shè)直線與曲線相切,其切點(diǎn)為,
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為: ,
因?yàn)榍芯過點(diǎn),所以,
即 ,
∵,∴,
設(shè),
∵, , ,
∴在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根
又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻(gè)根,所以方程恰有三個(gè)根,
故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)∵當(dāng)時(shí), ,即當(dāng)時(shí),
∴當(dāng)時(shí), ,
設(shè),則,
設(shè),則.
(1)當(dāng)時(shí),∵,∴,從而(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)
∴在上單調(diào)遞增,
又∵,∴當(dāng)時(shí), ,從而當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞減,又∵,
從而當(dāng)時(shí), ,即
于是當(dāng)時(shí), .
(2)當(dāng)時(shí),令,得,∴,
故當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞減,
又∵,∴當(dāng)時(shí), ,
從而當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞增,又∵,
從而當(dāng)時(shí), ,即
于是當(dāng)時(shí), ,
綜合得的取值范圍為.
解法二:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
,
設(shè)直線與曲線相切,其切點(diǎn)為,
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
因?yàn)榍芯過點(diǎn),所以,
即 ,
∵,∴
設(shè),則,令得
當(dāng)變化時(shí), , 變化情況如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴恰有三個(gè)根,
故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)同解法一.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖,⊙O內(nèi)切于△ABC的邊于D,E,F(xiàn),AB=AC,連接AD交⊙O于點(diǎn)H,直線HF交BC的延長線于點(diǎn)G.
(Ⅰ)求證:圓心O在直線AD上;
(Ⅱ)求證:點(diǎn)C是線段GD的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為落實(shí)《課標(biāo)》所倡導(dǎo)的課程理念,切實(shí)提高學(xué)生的綜合素質(zhì),某校高二年級(jí)開設(shè)“趣味數(shù)學(xué)”、“趣味物理”、“趣味化學(xué)”3門任意選修課程,供年級(jí)300位文科生自由選擇2門(不可多選或少選),選課情況如下表:
(Ⅰ)為了解學(xué)生選課情況,現(xiàn)采用分層抽樣方法抽取了三科作業(yè)共50本,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)“趣味物理”有18本,試根據(jù)這一數(shù)據(jù)估計(jì), 的值;
(Ⅱ)為方便開課,學(xué)校要求, ,計(jì)算的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC1∥平面CDB1
(2)求證:AC⊥BC1
(3)求直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為偶函數(shù).
(1)求 的值;
(2)若方程 有且只有一個(gè)根,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,函數(shù) ,且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為與最近的一個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)為常數(shù),判斷方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù);
(Ⅲ)在銳角中,若,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=|x|,g(x)=lg(ax2﹣4x+1),若對(duì)任意x1∈R,都存在在x2∈R,使f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(﹣∞,4]
B.(0,4]
C.(﹣4,0]
D.[0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù) ,集合M={x|f(x)=0}={x1 , x2 , x3 , x4 , x5}N* , 設(shè)c1≥c2≥c3 , 則c1﹣c3=( )
A.6
B.8
C.2
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017衡陽第二次聯(lián)考】已知四棱錐中,底面為矩形, 底面, , , 為上一點(diǎn), 為的中點(diǎn).
(1)在圖中作出平面與的交點(diǎn),并指出點(diǎn)所在位置(不要求給出理由);
(2)求平面將四棱錐分成上下兩部分的體積比.
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