Question

4．實數(shù)x，y滿足（x-y）²+y²=2，則x²+y²的最小值是3-$\sqrt{5}$，最大值是3+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由實數(shù)x，y滿足（x-y）²+y²=2，可令y=$\sqrt{2}$sinθ，x-y=$\sqrt{2}$cosθ，可得x=$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ），則x²+y²=2（sinθ+cosθ）²+2sin²θ=3+$\sqrt{5}$sin（2θ-φ），cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．即可得出．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足（x-y）²+y²=2，可令y=$\sqrt{2}$sinθ，x-y=$\sqrt{2}$cosθ，
可得x=$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ），
則x²+y²=2（sinθ+cosθ）²+2sin²θ=2+2sin2θ+1-cos2θ
=3+$\sqrt{5}$sin（2θ-φ）∈$[3-\sqrt{5}，3+\sqrt{5}]$．cosφ=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，sinφ=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
∴x²+y²的最小值是3-$\sqrt{5}$，最大值是3+$\sqrt{5}$．
故答案為：3-$\sqrt{5}$，3+$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)換元方法、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．