Question

已知函數（、為常數），在時取得極值.

（1）求實數的值；

（2）當時，求函數的最小值；

（3）當時，試比較與的大小并證明.

 

Answer 1

（1）；（2）取最小值；（3）．

【解析】

試題分析：（1）因為函數 （、為常數），在時取得極值，故，因此，先對函數求導得，，由可得實數的值；（2）當時，求函數的最小值，當時，由得，代入得 ，對求導，判斷單調性，即可得函數的最小值；（3）比較與的大小，直接比較不好比較，可比較對數的大小即與，兩式作差得，只需判斷它的符號，即判斷的符號，即判斷的符號，可構造函數，證明即可．

試題解析：（1）

∴ （3分）

（2）時

，

∴在上單調遞減，在上單調遞增 （6分）

∴當時，取最小值 （8分）

（3）令

，∴在上單調遞減，在上單調遞增 ，∴ 當且僅當時取最小值

∵ ∴

∴ ∴

∴ ∴ （14分）

考點：函數的極值，函數的最值，比較大小，函數的單調性．