Question

（2010•懷柔區(qū)模擬）已知函數(shù)f(x)=-cosx+cos(

π

2

-x)，x∈R
（1）求f（x）的周期；
（2）若x∈(0，

π

4

)，且sin2x=

1

3

，求f（x）的值．

Answer 1

分析：把f（x）解析式中的第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，提取

2

后，利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，
（1）由化簡(jiǎn)后的函數(shù)解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)f（x）的周期；
（2）由x的范圍，利用正弦及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可判斷出sinx與cosx的大小，然后利用完全平方公式化簡(jiǎn)（cosx-sinx）²，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把sin2x的值代入可求出值，開方可得cosx-sinx的值，再利用完全平方公式化簡(jiǎn)（cosx+sinx）²，根據(jù)同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把sin2x的值代入可求出值，開方可得cosx+sinx的值，兩者聯(lián)立可得sinx和cosx的值，把求出的sinx和cosx的值代入化簡(jiǎn)后的f（x）解析式可求出f（x）的值．

解答：解：函數(shù)f（x）=-cosx+cos（

π

2

-x）
=-cosx+sinx=sinx-cosx=

2

sin（x-

π

4

），
（1）∵ω=1，∴f（x）的周期T=

2π

ω

=2π；
（2）因?yàn)?span id="8uao8cq" class="MathJye">x∈(0，

π

4

)，所以cosx＞sinx，且sin2x=2sinxcosx=

1

3

，
又（cosx-sinx）²=cos²x-2sinxcosx+sin²x=1-sin2x=1-

1

3

=

2

3

，
所以cosx-sinx=

6

3

，
則f（x）=-cosx+cos（

π

2

-x）=-cosx+sinx=-

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，涉及的知識(shí)有誘導(dǎo)公式，兩角差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，在求函數(shù)周期時(shí)，應(yīng)先根據(jù)三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)值，然后找出ω的值可求出周期，第二問靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及二倍角的正弦函數(shù)公式求出sinx和cosx的值是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意根據(jù)x的范圍判斷得出cosx-sinx的符號(hào)．