Question

如圖，吊車的車身高為m米（包括車輪的高度），吊臂長n米，現(xiàn)要把一個直徑為6米，高為3米的圓柱形屋頂水平地吊到屋基上安裝，在安裝過程中屋頂不能傾斜（注：在吊臂的旋轉(zhuǎn)過程中可以靠吊起屋頂?shù)睦|繩的伸縮使得屋頂保持水平狀態(tài)）．
（1）設(shè)吊臂與水平面的傾斜角為α，屋頂?shù)撞颗c地面間的距離最大為h米，此時如圖所示，屋頂上部與吊臂有公共點(diǎn)，試將h表示為α函數(shù)，并寫出定義域；
（2）若某吊車的車身高為2.5米，吊臂長24米，使用該吊車將屋頂?shù)醯?4米的屋基上，能否吊裝成功？

Answer 1

分析：（1）如圖，把吊臂頂?shù)降孛娴木嚯x用兩種方式表示出來，得nsinα+m=h+3+3tanα整理即得h關(guān)于角α的函數(shù)．
（2）代入數(shù)據(jù)，整理出函數(shù)關(guān)系式，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，求最值，驗證其與屋頂高度的大小．

解答：解：（1）由已知得nsinα+m=h+3+3tanα
得h=nsinα-3tanα+m-3（0＜α＜

π

2

）（6分）
（2）由已知得∴h=24sinα-3tanα-

1

2

(0＜α＜

π

2

).（7分）
求導(dǎo)得h′(α)=24cosα-

3

cos2α

=

24(cos3α- 1 8 )

cos2α

=0.（10分）
∴cosα=

1

2

.∴α=

π

3

，且h′（α）在α=

π

3

處左正右負(fù)，（12分）
∴[h(α)]max=h(

π

3

)=9

3

-

1

2

＞9×1.7-

1

2

=14.8＞14.（15分）
答：可以吊裝成功．（16分）

點(diǎn)評：考查實(shí)際背景下建立函數(shù)關(guān)系解決實(shí)際問題的能力．