【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過點(diǎn)且傾斜角為.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,l與C交于M,N兩點(diǎn).
(1)求C的直角坐標(biāo)方程和的取值范圍;
(2)求MN中點(diǎn)H的軌跡的參數(shù)方程.
【答案】(1);或(2)(為參數(shù),且或).
【解析】
(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.
(2)利用直線的垂直的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.
解:(1)C的直角坐標(biāo)方程為,
即,是以原點(diǎn)為圓心的單位圓
當(dāng)時(shí),顯然直線l與曲線C相離,不合題意.
∴,所以直線l的斜率存在.
∴直線l的方程可寫為
∵直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),
∴圓心O到直線l的距離,
解得
∴或.
(2)(法一)直線l的參數(shù)方程為
(t為參數(shù),或)
設(shè)M,N,H對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,,則,
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得:
∴,∴,
又點(diǎn)H的坐標(biāo)滿足,
(t為參數(shù),或)
∴點(diǎn)H的軌跡的參數(shù)方程為
即(為參數(shù),或)
(法二)
設(shè)點(diǎn),則由可知,
當(dāng)時(shí)有
即,整理得
當(dāng)時(shí),點(diǎn)H與原點(diǎn)重合,也滿足上式.
∴點(diǎn)H的軌跡的參數(shù)方程為
(為參數(shù),且或).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為4的菱形中, ,點(diǎn)分別是的中點(diǎn), ,沿將翻折到,連接,得到如圖的五棱錐,且
(1)求證: 平面(2)求二面角的余弦值.
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【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最小值;
(2)若函數(shù)在上存在零點(diǎn),證明:.
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【題目】已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,且滿足.
(1)若直線的斜率為1,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若,求四邊形面積的最大值.
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【題目】記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,已知,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程,點(diǎn)在直線上,直線與曲線交于兩點(diǎn).
(1)求曲線的普通方程及直線的參數(shù)方程;
(2)求的面積.
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【題目】如圖1,已知等邊的邊長為3,點(diǎn),分別是邊,上的點(diǎn),且,.如圖2,將沿折起到的位置.
(1)求證:平面平面;
(2)給出三個(gè)條件:①;②二面角大小為;③.在這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題的條件中,并作答:在線段上是否存在一點(diǎn),使直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出的長;若不存在,請(qǐng)說明理由.注:如果多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答給分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x|+|x﹣1|.
(1)若f(x)≥|m﹣1|恒成立,求實(shí)數(shù)m的最大值M;
(2)在(1)成立的條件下,正實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=M,證明:a+b≥2ab.
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