Question

A是由在[1，4]上有意義且滿足如下條件的函數(shù)φ（x）組成的集合；
①對(duì)任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
②存在常數(shù)L（0＜L＜1），使得對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|
（1）設(shè)，證明：φ（x）∈A；
（2）設(shè)，是否存在設(shè)x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），如存在，求出所有的x₀，如不存在請(qǐng)說(shuō)明理由！

Answer 1

證明：（1）因?yàn)閤∈[1，2]，所以φ（2x）=，x∈[1，2]，
≤φ（2x）≤∴φ（2x）∈（1，2）；
對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]，
|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|-|=||x₁-x₂|
取L=∈（0，1），使|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L||x₁-x₂|成立
故φ（x）∈A；
（2）存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），
即x₀=，x₀∈（1，2），
得4x₀²-18x₀+15=0，解得x₀=
經(jīng)檢驗(yàn)x₀=∈（1，2），
所以存在x₀=∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀）．
分析：（1）先根據(jù)x的范圍求出φ（2x）的取值范圍，判定是否滿足φ（2x）∈（1，2），然后判定是否對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，2]都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=L|x₁-x₂|，從而得到結(jié)論；
（2）先假設(shè)存在，根據(jù)x₀=φ（2x₀）建立方程，然后解方程，最后求出滿足條件的x₀，從而得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及函數(shù)的值域等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．