Question

某商店經銷一種世博紀念品，每件產品的成本為30元，并且每賣出一件產品需向稅務部門上繳5元的稅收，設每件產品的日售價為x元(35≤x≤41)，根據市場調查，日銷售量與e^x(e為自然對數底數)成反比例，已知每件產品的日售價為40元時，日銷售量為10件，
(Ⅰ)求該商店的日利潤L(x)元與每件產品的日售價x元的函數關系式；
(Ⅱ)當每件產品的日售價為多少元時，該商品的日利潤L(x)最大，并求出L(x)的最大值。

Answer 1

解：(Ⅰ)設日銷售量為，則，
∴，
則日銷售量為件，
則日利潤(35≤x≤41)；
(Ⅱ)L′(x)=，令L′(x)=0，得x=36，
當x∈[35，36)，L′(x)＞0，遞增；當x∈(36，41]，L′(x)＜0，遞減，
∴L(x)在x=36取最大，且，
答：當日售價為36元時，該商品日利潤最大，最大為10e⁴元。