Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos2A+

3

2

=2cosA．
（1）求角A的大�。�
（2）若a=1，求△ABC的周長l的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,解三角形

分析：（1）根據(jù)倍角公式化簡已知可得：（2cosA-1）²=0，從而可得cosA=

1

2

，由0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）根據(jù)正弦定理得b=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，可得l=1+b+c=1+

2

3

（sinB+sinC），由A=

π

3

，可得l=1+2sin（B+

π

6

），由0＜B＜

2π

3

，即可求得△ABC的周長l的取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)倍角公式：cos2A=2cos²A-1，得2cos²A+

1

2

=2cosA，即4cos²A-4cosA+1=0，
所以（2cosA-1）²=0，所以cosA=

1

2

，
因為0＜A＜π，所以A=

π

3

，…7分
（2）∵a=1，
∴根據(jù)正弦定理：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

2

3

sinB，c=

2

3

sinC，
所以l=1+b+c=1+

2

3

（sinB+sinC），
因為A=

π

3

，所以B+C=

2π

3

，
所以l=1+

2

3

[sinB+sin（

2π

3

-B）]=1+2sin（B+

π

6

），
因為0＜B＜

2π

3

，所以l∈（2，3]．…15分

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．