Question

10．在無水垢的新鋁鍋內(nèi)裝入定量的冷水，置于燃氣灶上分別用不同大小的火焰將其加熱至沸騰（因火焰的大小不易測量，利用燃氣灶上的旋鈕刻度代指，從點火線至最大線共有四格，分別取旋鈕正指5，4，3，2刻度時測量，火焰大小與刻度大小成正比），并記錄下每次所需時間和耗氣量（為減小誤差，每次加熱至沸騰后都用水將鍋冷卻至室溫）．現(xiàn)得到旋鈕所指刻度、起止時間和耗氣量三者之間的關(guān)系數(shù)據(jù)如表：

旋鈕所指刻度	起止時間		燃氣表讀數(shù)（m3）
	始	終	始	終
5	0	8′07.60″	7.266	7.310
4	0	8′39.82″	7.310	7.347
3	0	9′54.35″	7.347	7.390
2	0	12′13.22″	7.390	7.451

（1）試將上述實驗數(shù)據(jù)整理后填入下表

旋鈕所指刻度	耗氣量（單位：L）	時間（單位：s）

（2）若耗氣量y與旋鈕刻度x間的模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=a•b^x+c（其中a，b，c為常數(shù)），請問用刻度刻度值為3～5來求模擬函數(shù)時，用哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)更確切？說明理由．
（3）由選用的模擬函數(shù)計算出最節(jié)約燃氣點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)得表格；
（2）利用兩種模型，求出函數(shù)解析式，即可得出結(jié)論；
（3）對二次函數(shù)進行配方，可得結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)得

旋鈕刻度	耗氣量（單位：L）	時間（單位：s）
5	44	487.60
4	37	519.82
3	43	594.35
2	61	733.22

（2）設(shè)y₁=px²+qx+r（其中p、q、r為常數(shù)），將（3，33）、（4，37）、（5，44）三個點的坐標(biāo)代入可以求得p=$\frac{13}{2}$，q=-$\frac{103}{2}$，r=139，即y=$\frac{13}{2}$x²-$\frac{103}{2}$x+139．
將x=2代入得y=62．
設(shè)y₂=a•b^x+c，將（3，33）、（4，37）、（5，44）三個點的坐標(biāo)代入可以求得a=-$\frac{7776}{4459}$，b=-$\frac{7}{6}$，c=$\frac{523}{13}$，即y₂=-$\frac{7776}{4459}$•（-$\frac{7}{6}$）^x+$\frac{523}{13}$
將x=2代入得y=37$\frac{78}{91}$．
所以函數(shù)y₁=px²+qx+r的值更接近實驗結(jié)果，因此用二次函數(shù)模擬更準(zhǔn)確．
（3）y=$\frac{13}{2}$x²-$\frac{103}{2}$x+139=$\frac{13}{2}（x-\frac{103}{26}）^{2}+36\frac{103}{104}$，
∴x=$3\frac{25}{26}$時，最省燃氣，其耗氣量為$36\frac{103}{104}$，最節(jié)約燃氣點為（4，37）．

點評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生的計算能力，正確計算是關(guān)鍵．