Question

13．已知O是坐標原點，點M坐標為（2，1），點N（x，y）是平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}x+y≤2\\ x≥\frac{1}{2}\\ y≥x\end{array}\right.$上的一個動點，則$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值為（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 由向量數(shù)量積的坐標運算公式得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2x+y，作出題中不等式組表示的平面區(qū)域得到如圖的陰影部分，
將目標函數(shù)z=2x+y對應的直線進行平移，當x=y=$\frac{1}{2}$時z=2x+y取得最小值，即為所求．

解答 解：∵M（2，1），N（x，y），∴目標函數(shù)z=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=2x+y；
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{x≥\frac{1}{2}}\\{y≥x}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
得到如圖所示的△ABC及其內部，
其中A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），B（1，1），C（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）
設z=F（x，y）=2x+y，將直線l：z=2x+y進行平移，
當l經(jīng)過點A時，目標函數(shù)z取得最小值；
∴z_最小值=F（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）=2×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域、向量數(shù)量積的坐標運算公式和簡單的線性規(guī)劃等知識，是基礎題目．