Question

如圖，F₁，F₂是離心率為的橢圓
C：(a＞b＞0)的左、右焦點，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長度之比為1 : 3．設A，B是C上的兩個動點，線段AB的中點M在直線l上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；
(Ⅱ) 是否存在點M，使以PQ為直徑的圓經過點F₂，若存在，求出M點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：解：(Ⅰ) 設F2(c，0)，則＝，所以c＝1．因為離心率e＝，所以a＝．
所以橢圓C的方程為．   4分
(Ⅱ) 當直線AB垂直于x軸時，直線AB方程為x＝－， 6分
此時P(，0)、Q(,0) ，．不合；
當直線AB不垂直于x軸時，設存在點M(－，m) (m≠0)，直線AB的斜率為k， ，
．由  得，則 －1＋4mk＝0，
故k＝．此時，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．
即 ．
聯立消去y，整理得  ．
所以，． 8分
由題意0，于是
(x1－1)(x2－1)＋y1y2
                      =0．
因為M在橢圓內，符合條件； 12分
綜上，存在兩點M符合條件，坐標為． 13分
點評：解決的關鍵是對于直線與圓錐曲線的位置關系的運用，要借助于代數方法聯立方程組來的得到，屬于基礎題。