Question

設(shè)函數(shù)f（x）=axⁿ⁺¹+bxⁿ+c（x＞0），其中a+b=0，n為正整數(shù)，a，b，c均為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）證明：對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

．（e為自然對(duì)數(shù)的底）

Answer 1

分析：（1）利用a+b=0，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為x+y-1=0，可求a，b，c的值；
（2）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，可求函數(shù)的最大值；
（3）要證對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

，只需證f(x)＜

1

ne

，由（2）知在（0，+∞）上f（x）有最大值，f(x)max=

nn

(n+1)n+1

，故只需證

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

．

解答：（1）解：∵a+b=0，∴f（1）=a+b+c=c．
由點(diǎn)（1，c）在直線x+y=1上，可得1+c=1，即c=0．----（1分）
∵f'（x）=a（n+1）xⁿ+bnx^n-1，∴f'（1）=（a+b）n+a=a．（2分）
又∵切線x+y=1的斜率為-1，∴a=-1，
∵a+b=0，∴b=1，
∴a=-1，b=1，c=0．（3分）
（2）解：由（1）知，f（x）=-xⁿ⁺¹+xⁿ，故f′(x)=(n+1)xn-1(

n

n+1

-x)．（4分）
令f′（x）=0，解得x=

n

n+1

，即f′（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)x=

n

n+1

．（5分）
當(dāng)0＜x＜

n

n+1

時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，

n

n+1

）上單調(diào)遞增； （6分）
當(dāng)x＞

n

n+1

時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（

n

n+1

，+∞）單調(diào)遞減．（7分）
∴f（x）在（0，+∞）上的最大值f（x）_max=f（

n

n+1

）=(

n

n+1

)n(1-

n

n+1

)=

nn

(n+1)n+1

．-----------------（8分）
（3）證明：要證對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

，只需證f(x)＜

1

ne

，
由（2）知在（0，+∞）上f（x）有最大值，f(x)max=

nn

(n+1)n+1

，故只需證

nn

(n+1)n+1

＜

1

ne

-----（9分）
即(

n

n+1

)^n+1，即ln

n

n+1

+

1

n+1

＜0，①（10分）
令

n

n+1

=t，(0＜t＜1)，則

1

n+1

=1-t，①即lnt-t+1＜0，②（11分）
令g（t）=lnt-t+1，（0＜t＜1），則g′(t)=

1

t

-1=

1-t

t

，（12分）
顯然當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g'（t）＞0，所以g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴g（t）＜g（1）=0，即對(duì)任意的0＜t＜1②恒成立，
∴對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有nf(x)＜

1

e

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，綜合性強(qiáng)，有難度．