對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.如果函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N)有且只有兩個不動點0,2,且f(-2)<-
1
2
,
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)已知各項不為零的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,求數(shù)列通項an
(3)如果數(shù)列{an}滿足a1=4,an+1=f(an),求證:當(dāng)n≥2時,恒有an<3成立.
分析:(1)由
x2+a
bx-c
=x,化簡為(1-b)x2+cx+a=0,利用韋達定理可求得
a=0
b=1+
c
2
,代入f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N),依題意可求得c=2,b=2,從而可得函數(shù)f(x)的解析式;
(2)由4Sn-
(
1
an
)
2
2(
1
an
-1)
=1,整理得2Sn=an-an2(*),于是有2Sn-1=an-1-an-12(**),二式相減得(an+an-1)(an-an-1+1)=0,討論后即可求得數(shù)列通項an;
(3)由an+1=f(an)得,an+1=
an2
2an-2
,取倒數(shù)得
1
an+1
=-2(
1
an
-
1
2
)
2
+
1
2
1
2
⇒an+1<0或an+1≥2,分別討論即可.
解答:解:(1)依題意有
x2+a
bx-c
=x,化簡為(1-b)x2+cx+a=0,由韋達定理得:

2+0=-
c
1-b
2•0=
a
1-b
,解得
a=0
b=1+
c
2
,代入表達式f(x)=
x2
(1+
c
2
)x-c
,
由f(-2)=
-2
1+c
<-
1
2
,得c<3,又c∈N,b∈N,
若c=0,b=1,則f(x)=x不止有兩個不動點,
∴c=2,b=2,故f(x)=
x2
2(x-1)
,(x≠1).
(2)由題設(shè)得4Sn
(
1
an
)
2
2(
1
an
-1)
=1,整理得:2Sn=an-an2,(*)
且an≠1,以n-1代n得2Sn-1=an-1-an-12,(**)
由(*)與(**)兩式相減得:
2an=(an-an-1)-(an2-an-12),即(an+an-1)(an-an-1+1)=0,
∴an=-an-1或an-an-1=-1,以n=1代入(*)得:2a1=a1-a12
解得a1=0(舍去)或a1=-1,由a1=-1,若an=-an-1得a2=1,這與an≠1矛盾,
∴an-an-1=-1,即{an}是以-1為首項,-1為公差的等差數(shù)列.
(3)由an+1=f(an)得,an+1=
an2
2an-2
1
an+1
=-2(
1
an
-
1
2
)
2
+
1
2
1
2
,
∴an+1<0或an+1≥2.
若an+1<0,則an+1<0<3成立;
若an+1≥2,此時n≥2,從而an+1-an=
-an(an-2)
2(an-1)
≤0,即數(shù)列{an}在n≥2時單調(diào)遞減,由a2=2
2
3
知,an≤a2=2
2
3
<3,在n≥2上成立.
綜上所述,當(dāng)n≥2時,恒有an<3成立.
點評:本題考查數(shù)列的函數(shù)特性,著重考查等差數(shù)列的判定,考查推理證明能力,考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用,屬于難題.
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①f(x)=(x-1)2;②f(x)=|2x-1|;③f(x)=cos
π2
x
;④f(x)=ex.其中存在“穩(wěn)定區(qū)間”的函數(shù)有
 
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x+2
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(1)若x1<1<x2,且f(x)的圖象關(guān)于直線x=m對稱,求證:
12
<m<1;
(2)若|x1|<2且|x1-x2|=2,求b的取值范圍.

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(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請給出證明,若不能,請舉以反例.

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對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點.若函數(shù)f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且僅有兩個不動點0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間,
(2)已知各項不為0的數(shù)列{an}滿足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示數(shù)列{an}的前n項和,求證:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前題條件下,設(shè)bn=-
1
an
,Tn表示數(shù)列{bn}的前n項和,求證:T2011-1<ln2011<T2010

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