Question

如圖，過(guò)點(diǎn)的兩直線與拋物線相切于A、B兩點(diǎn)， AD、BC垂直于直線，垂足分別為D、C．

（1）若，求矩形ABCD面積；
（2）若，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

（1）14  （2）

試題分析：（1）當(dāng)=1時(shí)，假設(shè)切線為y=kx+1,聯(lián)立.令判別式為零可求得k及切點(diǎn)坐標(biāo).即可求出面積.（2）假設(shè)切點(diǎn)，對(duì)拋物線求導(dǎo)求出斜率寫(xiě)出切線方程，代入定點(diǎn)(0, )求出切點(diǎn)坐標(biāo)（含）.寫(xiě)出面積的表達(dá)式.根據(jù)的范圍求出S的最大值.本題是常見(jiàn)的直線與拋物線的關(guān)系的題型.設(shè)切點(diǎn)，聯(lián)立方程找出關(guān)于切點(diǎn)的等式.通過(guò)對(duì)參數(shù)的分類(lèi)求出相應(yīng)的最大值.
試題解析：（1）時(shí)， （詳細(xì)過(guò)程見(jiàn)第（2）問(wèn)）        6分
（2）設(shè)切點(diǎn)為，則,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030730578555.png" style="vertical-align:middle;" />，所以切線方程為, 即，
因?yàn)榍芯�過(guò)點(diǎn)，所以，即，于是．
將代入得．
(若設(shè)切線方程為，代入拋物線方程后由得到切點(diǎn)坐標(biāo)，亦予認(rèn)可．)
所以， 所以矩形面積為，
．
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故當(dāng)時(shí)，S有最大值為．             15分