設(shè)事件A發(fā)生的概率為P,若在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率為P′,則由A產(chǎn)生B的概率為PP′,根據(jù)這一規(guī)律解答下題:一種擲硬幣走跳棋的游戲:棋盤上有第0,1,2,3,…,100,共101站,設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn,一枚棋子開始在第0站(即P0=1),由棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動一次,若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動一站,出現(xiàn)反面則向前跳動兩站,直到棋子跳到第99站(獲勝)或100站(失。⿻r,游戲結(jié)束.已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都為數(shù)學(xué)公式
(1)求P1,P2,P3,并根據(jù)棋子跳到第n+1站的情況,試用Pn,Pn-1表示Pn+1;
(2)設(shè)an=Pn-Pn-1(1≤n≤100),求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(3)求玩該游戲獲勝的概率.

解:(1)根據(jù)題意,棋子跳到第n站的概率為Pn
則P1即棋子跳到第一站,有一種情況,即擲出正面,故P1=,
P2即棋子跳到第2站,有2種情況,即兩次擲出正面或一次擲出反面,則,
P3即棋子跳到第3站,有2種情況,即在第1站擲出反面,或在第2站擲出正面,則
故Pn+1即棋子跳到第n站,有2種情況,即在第n-1站擲出反面,或在第n站擲出正面,則
(2)由(1)知:,
,
∴{Pn-Pn-1}表示等比數(shù)列,其公比為

;
(3)玩該游戲獲勝,即求P99
由(2)知,Pn-Pn-1=(2≤n≤100),
∴P2-P1=,
P3-P2=,…
Pn-Pn-1=(2≤n≤100),
∴Pn-P1=
∴Pn-P1=

∴n=99時,
分析:(1)根據(jù)題意,則P1即棋子跳到第一站,有一種情況,即擲出正面,故可求;P2即棋子跳到第2站,有2種情況,即兩次擲出正面或一次擲出反面,故可求;P3即棋子跳到第3站,有2種情況,即在第1站擲出反面,或在第2站擲出正面,故可求;Pn+1即棋子跳到第n站,有2種情況,即在第n-1站擲出反面,或在第n站擲出正面,則可得結(jié)論;
(2)由(1)知:,可變形為,故可得{Pn-Pn-1}表示等比數(shù)列,進(jìn)而可得{an}的通項(xiàng)公式;
(3)玩該游戲獲勝,即求P99由(2)知,Pn-Pn-1=(2≤n≤100),利用疊加法可得
,令n=99,可得玩該游戲獲勝的概率.
點(diǎn)評:本題以實(shí)際問題為載體,考查概率的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是理解若硬幣出現(xiàn)正面則棋子向前跳動一站,出現(xiàn)反面則向前跳動兩站,由此得出概率之間的關(guān)系.
練習(xí)冊系列答案
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設(shè)事件A發(fā)生的概率為p,證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ξ的方差不超過1/4.

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(1)求P1,P2,P3,并根據(jù)棋子跳到第n+1站的情況,試用Pn,Pn-1表示Pn+1
(2)設(shè)an=Pn-Pn-1(1≤n≤100),求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(3)求玩該游戲獲勝的概率.

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(1)證明事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生次數(shù)ε的方差不超過.

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