Question

根據(jù)統(tǒng)計資料，某工藝品廠的日產量最多不超過20件，每日產品廢品率P與日產量x（件）之間近似地滿足關系式P=

2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* x2+60 540 ，10≤x≤20，x∈N*

（日產品廢品率=

日廢品量

日產量

×100%）．已知每生產一件正品可贏利2千元，而生產一件廢品則虧損1千元．（該車間的日利潤Y=日正品贏利額-日廢品虧損額）
（1）將該車間日利潤y（千元）表示為日產x（件）的函數(shù)；
（2）當該車間的日產量為多少件時，日利潤最大？最大日利潤是幾千元？

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）由題意可知y=2x（1-p）-px，然后把p代入即可．
（2）由于所得函數(shù)是分段函數(shù)，需要分段討論，利用導數(shù)來求最值，最后確定最大日利潤

解答： 解：（1）由題意可知，y=2x（1-p）-px=

24x-2x2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* 5 3 x- x3 180 ，10≤x≤20

（2）考慮函數(shù)f（x）=px=

24x-2x2 15-x ，1≤x≤9，x∈N* 5 3 x- x3 180 ，10≤x≤20

當1≤x≤9時，f′（x）=2-

90

(15-x)2

，
令f′（x）=0，解得x=15-3

5

，
當1≤x＜15-3

5

時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[1，15-3

5

）上單調遞增，
當15-3

5

＜x≤9時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（15-3

5

，9]上單調遞減，
所以當x=15-3

5

時，f（x）取得極大值，也是最大值，
又x是整數(shù)，f（8）=

64

7

，f（9）=9，所以當x=8時，f（x）有最大值

64

7

．
當10≤x≤20時，f′（x）=

5

3

-

x2

60

=

100-x2

60

≤0，所以函數(shù)f（x）在[10，20]上單調減，
所以當x=10時，f（x）取得極大值

100

9

，也是最大值．
由于

100

9

＞

64

7

，所以當該車間的日產量為10件時，日利潤最大．
答：當該車間的日產量為10件時，日利潤最大，最大日利潤是

100

9

千元．

點評：本題的考點是函數(shù)模型的選擇與應用，主要考查函數(shù)模型的建立，考查利用函數(shù)思想解決實際問題，關鍵是實際問題向數(shù)學問題的轉化，即建模，同時又用來解決實際問題．