Question

6．如果圓C：（x-a）²+（y-a）²=200上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5$\sqrt{2}$，則圓心C到直線3x+4y=0距離d的取值范圍是（7，21）．

Answer 1

分析 由已知得圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離d=5$\sqrt{2}$，從而|d-r|＜$\sqrt{2}$|a|且d+r＞$\sqrt{2}$|a|，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍，即可求出圓心C到直線3x+4y=0距離d的取值范圍．

解答 解：圓心（a，a）到原點(diǎn)的距離為$\sqrt{2}$|a|，半徑r=10$\sqrt{2}$，
圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離為d，
∵圓（x-a）²+（y-a）²=200上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5$\sqrt{2}$，
∴d=5$\sqrt{2}$，
∴|d-r|＜$\sqrt{2}$|a|且d+r＞$\sqrt{2}$|a|
∴|$\frac{d-r}{\sqrt{2}}$|＜|a|＜$\frac{d+r}{\sqrt{2}}$，即5＜|a|＜15，
∴圓心C到直線3x+4y=0距離d=$\frac{|7a|}{\sqrt{9+16}}$∈（7，21）．
故答案為：（7，21）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了實(shí)數(shù)的取值范圍與應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．