Question

已知數列{a_n}的各項均是正數，其前n項和為S_n，滿足S_n=4-a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=

1

2-log2an

（n∈N^*），數列{b_nb_n+2}的前n項和為T_n，求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用s_n+1-s_n=a_n+1求出a_n的遞推公式，進而判斷該數列為等比數列，由此求解．
（2）將（1）中的結論代入b_n=

1

2-log2an

（n∈N^*），求出bn，進而求出b_nb_n+1，利用裂項求和法求出T_n，即可求證T_n的范圍；

解答：解：（1）由S_n=4-a_n．得S₁=4-a₁，解得a₁=2，
而a_n+1=S_n+1-S_n=（4-a_n+1）-（4-a_n）=a_n-a_n+1，即2a_n+1=a_n，
∴

an+1

an

=

1

2

，
可見，數列{a_n}是首項為2，公比為

1

2

的等比數列．
∴a_n=2•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-2；           
 （2）證明：∵b_n=

1

2-log2an

=

1

2-(2-n)

=

1

n

，
∴b_nb_n+2=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴數列{b_nb_n+2}的前n項和
T_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

4

-

1

6

）+…+（

1

n-2

-

1

n

）+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

（

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3

4

-

1

2

（

1

n+1

+

1

n+2

）＜

3

4

．

點評：本題主要考查數列知識的綜合運用，以及證明不等式的能力，同時考查了裂項求和法，屬于中檔題．