已知向量
a
=(1,0),
b
=(x,1)
,當(dāng)x>0時,定義函數(shù)f(x)=
a
b
|
a
|+|
b
|

(1)求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x);
(2)數(shù)列{an}滿足:a1=a>0,an+1=f(an),n∈N*,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,
①證明:Sn<2a;
②當(dāng)a=1時,證明:an
1
2n
分析:由題意得f(x)=
x
1+
1+x2
(x>0),令x=tanα(α∈(0,
π
2
))
,則f(x)=
tanα
1+
1+tan2α
=
sinα
1+cosα
=tan
α
2
,由于α∈(0,
π
2
)⇒
α
2
∈(0,
π
4
)
,所以tan
α
2
∈(0,1)
,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1)
(1)由y=
x
1+
1+x2
,反解x可得x=
2y
1-y2
,所以原函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x)=
2x
1-x2
(0<x<1)
(2)因?yàn)閍1=a>0,an+1=f(an),n∈N*,所以an+1=
an
1+
1+
a
2
n

①利用放縮法.an+1=
an
1+
1+
a
2
n
an
2
,所以Sn=a1+a2+…+an<a+
1
2
a+
1
22
a+…+
1
2n-1
a
=a+a(
1
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
)=a+a(1-
1
2n-1
)<2a

②因?yàn)閍n+1=f(an),所以an=f-1(an+1),所以an=
2an+1
1-
a
2
n+1
,又由原函數(shù)的值域知an+1∈(0,1),所以an=
2an+1
1-
a
2
n+1
2an+1
1-an+1
,則
1
an
1
2an+1
-
1
2
1
an+1
2
an
+1
,進(jìn)而(
1
an+1
+1)<2(
1
an
+1)
,所以
1
an
+1<(
1
a1
+1)•2n-1=2n
于是可得結(jié)論.
解答:解:由題意得f(x)=
x
1+
1+x2
(x>0)
令x=tanα(α∈(0,
π
2
))
,則f(x)=
tanα
1+
1+tan2α
=
sinα
1+cosα
=tan
α
2

由于α∈(0,
π
2
)⇒
α
2
∈(0,
π
4
)
,所以tan
α
2
∈(0,1)
,即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1)
(1)由y=
x
1+
1+x2
⇒y-x=y
1+x2
y2-2xy+x2=y2+y2x2
于是解得x=
2y
1-y2
,所以原函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x)=
2x
1-x2
(0<x<1)
(2)證明:因?yàn)閍1=a>0,an+1=f(an),n∈N*,所以an+1=
an
1+
1+
a
2
n

an+1=
an
1+
1+
a
2
n
an
2
,所以Sn=a1+a2+…+an<a+
1
2
a+
1
22
a+…+
1
2n-1
a
=a+a(
1
2
(1-
1
2n-1
)
1-
1
2
)=a+a(1-
1
2n-1
)<2a

②因?yàn)閍n+1=f(an),所以an=f-1(an+1
所以an=
2an+1
1-
a
2
n+1
,又由原函數(shù)的值域知an+1∈(0,1)
所以an=
2an+1
1-
a
2
n+1
2an+1
1-an+1
,則
1
an
1
2an+1
-
1
2
1
an+1
2
an
+1

進(jìn)而(
1
an+1
+1)<2(
1
an
+1)
,所以
1
an
+1<(
1
a1
+1)•2n-1=2n

于是an
1
2n-1
1
2n
點(diǎn)評:本題以新定義為載體,考查函數(shù)及反函數(shù)的求解,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是適當(dāng)放縮,難度較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(-1,0,1)
b
=(1,2,3),k∈R
,且(k
a
-
b
)
b
垂直,則k等于
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(1,0)
,
b
=(0,1)
,
c
=k
a
+
b
d
=
a
-2
b
,如果
c
d
,則k=
-
1
2
-
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(1,0),
b
=(x,1)
,當(dāng)x>0時,定義函數(shù)f(x)=
a
b
|
a
|+|
b
|

(1)求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x);
(2)數(shù)列{an}滿足:a1=a>0,an+1=f(an),n∈N*,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則:
①當(dāng)a=1時,證明:an
1
2n
;
②對任意θ∈[0,2π],當(dāng)2asinθ-2a+Sn≠0時,
證明:
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
4a-Sn
Sn
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
Sn
4a-Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2010•臺州二模)已知向量
a
=(1,0)
,向量
b
a
的夾角為60°,且|
b
|=2
.則
b
=(  )

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同步練習(xí)冊答案